Арифметическая прогрессия.
Арифметическая прогрессия-это числовая последовательность a1, a2,..., an,... для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.
Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:
,
т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа 
(шаг либо разность прогрессии):
(шаг либо разность прогрессии):
Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:
Арифметическая прогрессия-это монотонная последовательность. При 
она возрастает, а при 
— убывает. Если 
, то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения 
для членов арифметической прогрессии.
она возрастает, а при — убывает. Если , то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.
Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23... — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.
Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.
Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 42... — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.
Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.
Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23... — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.
Свойства арифметической прогрессии.
1. Общий член арифметической прогрессии.
Член арифметической прогрессии с номером
можно найти с помощью формулы: , где 
— 1-й член прогрессии, 
— разность прогрессии.
Член арифметической прогрессии с номером
можно найти с помощью формулы: , где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии.2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Последовательность
- это арифметическая прогрессия 
для элементов этой прогрессии выполняется условие: 
.3. Сумма 1-х членов арифметической прогрессии.
Сумму 1-х членов арифметической прогрессии 
можно найти с помощью формул: 
,
где — 1-й член прогрессии,
— член с номером ,
— число суммируемых членов.
,где — 1-й член прогрессии,
— разность прогрессии,
— число суммируемых членов.
— 1-й член прогрессии, — член с номером , — число суммируемых членов., — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии, — число суммируемых членов.4. Сходимость арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия является расходящейся при 
и сходящейся при 
. При этом:
Арифметическая прогрессия
является расходящейся при и сходящейся при . При этом:Примеры арифметических прогрессий.
Пример 1. Дана прогрессия 1.2, 1.5, 1.8 ... . Найти a5. Решение. Разность прогрессии d = 1.5 − 1.2=0.3. Пятый член a5 = a1 + 4d = 1.2+4 · 0.3=2.4.
Ответ: 2.4.
Зная любые два члена прогрессии, можно найти a1 и d.
Пример 2. Пусть a10 = 10, a14 = 2. Найти a1 и d. Решение:
Ответ: 2.4.
Зная любые два члена прогрессии, можно найти a1 и d.
Пример 2. Пусть a10 = 10, a14 = 2. Найти a1 и d. Решение:
Тогда a1 − 18 = 10 ⇒ a1 = 28.
Ответ: a1 = 28, d = −2.
Ответ: a1 = 28, d = −2.
Пример 3. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен a4 − a2. Найти a1 и d. Решение:
Ответ: d = 1 2 , a1 = −2.
Пример 4. Последовательность задана формулой an = −2+3n. Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Решение.
Для любого n = 1, 2, 3,... выполняется условие an+1 = −2+3(n+1) = −2+3n+3 = an+3, т. е. an+1 = an+3.
Ответ: последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 3.
Пример 5. Последовательность задана формулой an = −2+3n2. Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Решение.
Для любого n = 1, 2, 3,... выполняется условие an+1 = −2 + 3(n + 1)2 = −2+3n2 + 6n +3= an + 6n + 3, т. е. an+1 = an + 6n + 3. Таким образом, a2 = a1 + 9, a3 = a2 + 15.
Ответ: поскольку a2 − a1 ≠ a3 − a2, последовательность не является арифметической прогрессией.
Фигурные числа.
Не каждый школьник может ответить на вопрос: зачем столько времени надо уделять прогрессиям? Тем не менее с этими замечательными последовательностями нам приходится сталкиваться довольно часто. Прогрессии интересуют людей с тех пор, как возникли первые цивилизации. Еще в клинописных текстах Древнего Вавилона, относящихся ко II тысячелетию до н. э., были обнаружены задачи на финансовые вычисления, решение которых предполагает умение обращаться с такими последовательностями, например: За какое время удвоится денежная сумма, ссуженная под 20 годовых процентов?. Хотя бы минимальное знакомство с финансовыми вычислениями необходимо любому человеку. Иначе в некоторых жизненных ситуациях он может оказаться беззащитен. Однако вернемся к числам. Пифагорийцы считали, что фигурные числа скрывают тайны мироздания. К ним проявляли интерес Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие математики античности. В средние века фигурные числа занимали Пачоли, Кардано, Фибоначчи и др., а в Новое время – Ферма, Коши и Эйлера.
Рассмотрим только однин класс фигурных чисел – многоугольные.
Любая арифметическая прогрессия с an = 1 + (n − 1)d, где n = 1, 2,..., а d – целое число, порождает прогрессию второго порядка – последовательность (d + 2) - угольных чисел. Если количество углов многоугольника обозначить m, то исходную прогрессию можно задать формулой an = 1 + (n − 1)(m − 2), а соответствующую прогрессию 2-го порядка –
Ниже в таблице представлены числа, соответствующие m = 3, 4, 5, 6.
Комментарии
Отправить комментарий